貝氏說服：檢察官怎麼影響法官判決

◎沈智新／倫敦政經學院政治經濟學博士候選人

做決定時，我們通常會猜想一件事情發生的機率是什麼，配合一些資訊後，估算出一件事情真的發生的可能性。所謂的貝氏機率 (Bayes’ theorem) 就是事前所估算的機率配合新獲得的訊息後，再計算得到的「事後條件機率」。

貝氏機率最常見的例子是：假設某疾病發生的機率pr(x)為1%，而罹患該疾病且被檢測出來為陽性的機率pr(d|x)為80%，沒有罹患該疾病卻被檢測出來為陽性的機率pr(d|n)為20%。所以，不論有無罹患這個疾病，有20.6%（pr(d)=pr(x)*pr(d|x)+pr(n)*pr(d|n)=0.01*0.8+0.99*0.2）的人會被檢測為陽性，但在檢測為陽性的情況下，真正有病的機率pr(x|d)只有約為3.9%（pr(x)*pr(d|x)/pr(d)=0.008/0.206）。換句話說，偽陽性造成的誤差，使得檢查的可靠度大幅降低。

舉凡與訊息相關的行為，幾乎都可以應用這個概念。而我們是不是能透過操弄訊息的準確度（偽陽性發生的機率）來影響訊息接受者的決策呢？答案是可行的，即使訊息接受者完全理性、甚或也清楚明白訊息提供者的偏好。

Kamenica and Gentzkow (2011) 探討訊息「提供者」是否能透過操弄訊息影響訊息「接受者」的決策，例如，檢察官怎麼用調查結果說服法官、利益團體如何遊說國會議員。這篇論文用的數學不容易，但他們提供了一個簡明的例子指出檢察官確實可以透過決定「訊號的精確度」影響最後的判決。

假設有兩個人，一個是法官、一個是檢察官，法官可以做兩個選擇：決定被告是有罪或無罪，而檢察官提供訊號（調查報告）給法官做決定。如過被告被判有罪的話，檢察官獲得效用1，若判無罪檢察官得到效用0。而法官如果做出公正決定（判有罪的人有罪、判無罪的人無罪）得到效用1，反之則得到效用0。

在這個例子中，被告是無罪的事前機率[pr(innocent)]為70%，因此如果沒有其他資訊（例如檢察官的調查報告），法官會判被告無罪（對於任一被告都是無罪機會比較大，所以法官一律判無罪），換言之，有30%的機會，有罪的被告可以逃過一劫。檢察官需要做的事情是調查事實、提供訊息給法官做決定。如果檢察官的調查是完美的，30%有罪的被告會被定罪，其餘的會被赦免。

但因為檢察官與法官的利害不一致，所謂調查事實可以理解為「決定要提供什麼樣的訊號給法官、讓法官最有機會做出有罪判決」。檢察官可以找到一個「最適訊號」(optimal signal)將被告被定罪的機會提升到最高。Kamenica and Gentzkow (2011) 舉出的例子是，檢察官可以提供兩種訊號，有罪訊號g與無罪訊號i，而他可以決定調查的內容與可性度，但調查結果要如實報告給法官。因此，數學上來說，檢察官可以決定下面四個條件機率：1. pr(i | innocent)=4/7; 2. pr(g | innocent)=3/7; 3. pr(i | guilty)= 0; 4. pr(g | guilty)=1，它們分別代表在被告無罪(innocent)與有罪(guilty)的情況下提供i與g兩種訊號的機率。亦即，檢察官在被告無罪的情況下提供有瑕痴的訊號（可能有偽陽性），而在被告有罪的情況下提供完美的訊號，如此一來，當法官依照檢察官給的訊號做判決，有60%的機會判被告有罪(3/7*0.7+1*0.3=0.6)，即使他知道70%的被告是無辜的！

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對法官而言，即使他知道檢察官的立場是想要盡量讓被告有罪，但檢察官提供的訊號依然是有參考價值的，因為他知道檢察官不能假造訊號，所以只要看到無罪訊號i，被告就是無罪的，而整體而言，誤判的機率維持不變，依然是30%(3/7*0.7=0.3。檢察官得到好處而法官沒有變差，雙方就各自接受了這個策略，是『均衡』概念下的結果)。

如果把這個例子的一切情況反過來：即使法官知道檢察官想要讓被告無罪、而被告有罪的事前機率為70%，同時依舊假設法官想做出正確判斷，我們發現，靠著檢察官提供的訊息，一些廠商被判無罪的機率自然是很大的（如果用上面例子的數字，六成可以無罪）。換句話說，我們如果仰賴單一訊息來源，就免不了被他操控的可能，例如當我們看到媒體或利益團體提供的訊息時，我們的決策也可能理性卻自然而然地被影響了。

※補充
更多關於貝氏定理，可參考這篇菜市場文：貝氏定理在生活中很有用，可是它到底怎麼算？

參考文獻

• Kamenica, Emir and Matthew Gentzkow. 2011. “Bayesian Persuasion.” American Economic Review 101(6): 2590-2615