◎陳光輝/國立中正大學政治學系副教授

不時聽聞司法案件的判決,讓社會上很多人覺得不滿,認為又是「恐龍法官」的錯。事後的評論者陸續提到「無罪推論」這個原則。這令人聯想到,「無罪推論」原則與推論統計「假設檢定」中的「虛無假設」有著相似性。大學部統計方法課程,到了假設檢定這個單元時,台下的年輕同胞們,常覺得困惑。在這裡,我們將「假設檢定」與司法審判過程做個連結,試圖理解法官如何由無罪推論出發,判定被控告者是否有罪。1

 

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圖片:我國司法院憲法法庭。來源:C.C. by Jiang

推論統計的原理

先說明一下,什麼叫做推論統計(inferential statistics)。我們常常對於特定對象的某些狀況感到好奇。這個特定對象,我們稱為母群體(population)。我們將母群體裡特定狀況的真正數值稱為母體參數(population parameter),這個特定狀況可能指涉單一個現象,是一個變數,也可能是不同現象或變數間的關係,也就是變數間的關連程度。

現實的狀況是,我們通常不知道母體參數的正確值為何。所以,我們會以隨機抽樣的方式從這個母群體裡抽出數量較小的一群個體,稱為樣本(sample),瞭解他們在這個變數上的狀況,得到樣本在這個變數上的數值,稱為樣本估計值(sample statistic)。接著根據這個樣本估計值,我們來推論母群體在這個變數上的真正值(母體參數)為何,這就是推論統計。例如,我想知道在鳳梨田大學的學生平均一年吃了幾顆鳳梨?或是,吃的鳳梨數量跟體重之間有沒有關係?這樣的問題是存有真實的答案,這就是母體參數。問題是,我們不知道這個數值為何,所以,我們抽取了一組具有代表性的學生,正確測量了他們每個人每年吃了幾顆鳳梨,得到了一個平均數,做為樣本估計值,來推論真正的答案可能為何。

假設檢定的目的是針對我們提出的一個假設,依據我們所得到的樣本估計值來推論母體參數的真實值,決並定是否拒絕這個假設。這個過程跟法官針對一個司法案件進行審判,決定被告是否有罪一樣。針對單一個變數進行估計時,我們假設母體參數為一個特定值,例如,我們想知道鳳梨田大學的年輕人每年吃了幾顆鳳梨(這邊我們先假設一年吃了2.5顆),以及想要解釋是什麼因素讓某些人吃多一點鳳梨或吃少一點鳳梨。在討論幾個「變數」之間關係時,這個母體參數通常被假設為0,或是「變數間沒有關係存在」,例如,我們想知道「體重」跟吃幾顆鳳梨有沒有關係、想要做研究來檢視一下是不是體重愈重的人吃愈多鳳梨,我們會先假設吃鳳梨跟體重沒有關係。上面這兩種假設,我們稱為虛無假設(null hypothesis)。這就像是司法審判裡的無罪推論:我們預設被告是無罪的,是沒有做這個犯罪行為的。

 

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圖片來源:C.C. by Fukuzawa

 

進行假設檢定時,什麼狀況才能去推翻這個虛無假設?我們在這裡用「平均數」的概念來進行理解。如果得到的樣本估計值跟我們假設的母體參數,相距不遠,我們會覺得這個差距有可能是抽樣誤差導致的結果。意思是說,因為我們手上有的是樣本資料,每次抽樣結果多少會有些不同,所以會有誤差存在。就算我們的虛無假設是正確的,樣本估計值也不會剛好等於母體參數。因此,當樣本估計值與假設的母體參數之間差異不大,我們不會說這個虛無假設不對,我們就不拒絕這個虛無假設。當樣本估計值跟母體參數差距夠大了,我們就會說,這個虛無假設應該是不對的,我們就做出拒絕虛無假設的結論。簡單說來,我們有一個虛無假設,就看由樣本得到的估計值跟這個虛無假設差多遠,如果夠遠,我們覺得被說服了,就會拒絕虛無假設,說:真實的母體參數不等於我們說的那個特定值

至於多遠才叫遠?我們會設一個標準,通常是設在我們相信我們至少有95%的把握,相信我們的結論是對的,這個叫做信心水準(confidence level)。相對而言,最多有5%的機會,我們的結論是錯誤的。我們的樣本估計值跟虛無假設裡的母體參數,差得越遠,我們就越有把握拒絕虛無假設是對的。這麼做的基礎在哪裡?有個定理叫做中央極限定理(central limit theorem)來支持我們。很簡單的說法是:我們每次抽一樣多的樣本,會得到一個平均值,抽了很多很多次之後,這些樣本平均值放在一起會形成一個常態分配;此外,在個常態分配裡,這些樣本平均數的平均數會正好等於母體平均數(就是母體參數),標準差會等於母體標準差除於樣本數開跟號之值。

我們先說明什麼是常態分配,它是一個鐘形對稱的分配,若一個變數呈現常態分配,我們就可以計算,某個區段的數值發生的可能性有多高。例如,同學們吃掉的鳳梨數成呈常態分配,有人吃得多,有人吃的少,平均數為2.5,標準差為1.3,我們可以知道有64.97%的同學吃了兩顆以上,有35.03%的同學吃了兩顆以下(請見圖一),或是,前四分之一的人至少吃了3.38顆鳳梨(請見圖二)。

 

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圖一:常態分佈圖。來源:作者自製。

 

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圖二:常態分佈圖。來源:作者自製。

 

我們再回到上一段所說的虛無假設的檢定。根據中央極限定理,重複抽樣所得到的所有樣本平均數們會形成一個常態分配,我們手中這套樣本的平均數是當中的一個值。因此,我們可以得出多遠是超過95%的標準,通常就是以常態分配的中心點為中心,左右各47.5%的地方為界線。如果我們的虛無假設的母體參數是對的,有95%的機會,我們的樣本平均數會落在這個範圍內。這樣的狀況下,我們會認為這個虛無假設應該是合理的。反之,如果虛無假設是對的,但樣本估計值卻落在這個界線之外,發生這樣狀況的機率很低(只有5%),是不太合理的狀況,我們就會拒絕這個虛無假設。這左右2.5%的區域,我們稱為拒絕域(請見圖三)。當我們的樣本估計值落在拒絕域時,我們有超過九成五的把握說拒絕這個虛無假設是對的。反之,我們有不到5%的機會做了錯誤的結論:虛無假設是對的,我們卻說它是錯的。

 

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圖三:拒絕域。來源:作者自製。

 

司法審判與無罪推論

換句話說,當我們得到的樣本資料距離我們的虛無假設所說的母體參數值夠遠,我們就可以被說服說這個虛無假設是錯的。好,回到司法審判,一開始,我們就接受無罪推論,我們由相信這個被告是無罪的這個點出發。這個點,就像是上面假設檢定裡說的虛無假設。我們相信被告是無罪,這就是我們假設的母體參數。接著,就由檢察官提出證據,來告訴法官實際的狀況是如何。同時,這些證據也要接受辯護律師的檢視跟質疑。如果這些證據具有說服力,就可以將法官由相信被告是無罪的這個虛無假設,往相信這個人是有罪的方向拉。越有說服力的證據,就可以將法官拉得更遠。同時,辯護律師也提出有利於被告的證據來把法官往回拉。如果,檢察官的證據把法官往有罪方向拉得夠遠,而辯護律師提供的證據無法將法官往回拉,就像我們上面說的,超過了95%的把握,法官就會判決被告有罪。反之,法官就會將被告判為無罪。

在上面的假設檢定中,我們依據具代表性的抽樣資料來決定是否拒絕虛無假設。在司法審判裡,法官依據雙方證據來決定是否要否定被告是無罪的這個虛無假設。

當近來一些的司法案件判決出來時,一陣嘩然,法官被罵爆了!因為,社會裡的多數人都相信被告是有罪的。這跟法官所應站立的立場是不同的,因為法官要站在無罪推論的立場。當然,法官在相同性質的不同個案裡,是不是都是使用同一種標準?這也是目前引起爭議的一個問題。為什麼看起來相似的案件,結果卻截然不同?一個可能的解釋是:法官的心證。同樣的資訊,不同的人可能會有不同的認知與想法,法官在判案時,可能也有如此的狀況。回到上述我們提到以95%為標準,如果樣本估計值超過這個95%的範圍,我們就拒絕虛無假設。不過,95%是一個在社會科學領域裡常被使用的標準,不同的研究者或許會使用不的標準:有人使用90%,也有時使用99%(請見圖四)。

 

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圖四:不同的信心水準,拒絕域的範圍不同。來源:作者自製。

 

使用90%時,決定是否要拒絕虛無假設的兩端界線的距離比較近,比較可能拒絕虛無假設;使用99%時,距離就比較遠,也就比較難拒絕虛無假設。所以,在一個假設檢定裡,同樣的樣本估計值,若使用不一樣的信心水準時,可能獲得不一樣的結果。相同的,同樣的案件,同樣的證據,法官的標準若不相同,結果可能就有所不同。一個採用較寬鬆的標準的法官,就像是使用90%的信心水準,比較可能接受檢察官提出的證據,否定被告是無罪的這個虛無假設。相對的,一個以較高的標準進行審判的法官,就像是使用99%的信心水準,接受檢察官證據的可能性就比較低一點。因為標準的不同,導致了判決的不同。最高的信心水準可以到多高?由我們這裡使用的常態分配來看,接近100%,但從來不會達到100%。

面對司法審判的爭議時,我們要問的是:為什麼是無罪(無罪就是虛無假設中的母體參數)?是法官的標準有問題嗎(這就是信心水準的問題)?還是檢察官提供的證據是不足的(這就是樣本估計值的問題)?在近來的一些判決爭議中,一開始,大眾質疑的是法官的標準,之後,有較多的討論,指向了是檢察官的證據是不足的。這就像是:我們拿了一筆資料,進行假設檢定,結果是我們覺得不對的。可是,這不僅可能是這個決定有問題,也有可能是我們的樣本資料有問題,導致了這樣的結果。假設檢定跟司法判決一樣,我們都必須弄清楚我們的起始點在哪裡,證據是否有足夠的說服力,我們所使用的標準是否合理。如果以假設檢定的角度來說,無論我們用了多高的標準來做決定,都不會達到100%的信心水準。司法判決似乎也有這個屬性,也難怪,我們看不到從不引起爭議的司法體系。

 

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  1. 本文由教學筆記修改而成,目的在於藉由司法判決來協助同學理解假設檢定,並不在於對於假設檢定做詳實的介紹。作者感謝蔡奇霖與黃士豪在初稿階段給予的寶貴意見。作者在針對初稿進行修改時,發現已有相同主題的文章做了相當深入的探討,有興趣者請參見以下兩篇文章:黃文璋,統計顯著性Statistical hypothesis testing
關於「推論統計」與「無罪推論」:法院判決的類比
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